অনুপাত ও সমানুপাত

অনুপাত (Ratio)

সংজ্ঞা: সমজাতীয় দুটি রাশির পরিমাণের তুলনা। একে a:b (পড়া হয় 'a অনুপাত b') বা ভগ্নাংশ হিসেবে a/b আকারে প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য: অনুপাতের কোনো একক থাকে না। এটি কেবল দুটি সংখ্যার তুলনামূলক মান।

সহজীকরণ: অনুপাতের উভয় রাশিকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করা যায়। যেমন— ৪:৬ অনুপাতটির সবচেয়ে ছোট বা সরল রূপ হলো ৪ ÷ ২ : ৬ ÷ ২ = ৪:৩

সমানুপাত (Proportion)

সংজ্ঞা: যখন দুটি অনুপাত একে অপরের সমান হয়, তখন তাকে সমানুপাত বলে।গঠন: চারটি রাশি a, b, c এবং d সমানুপাতে থাকলে লেখা হয় a:b :: c:d অথবা a/b=c/d।

শর্ত: সমানুপাতের ক্ষেত্রে প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল মধ্যবর্তী রাশিদ্বয়ের গুণফলের সমান হয়। অর্থাৎ, a × d = b × c


  • প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৭ এবং তাদের যোগফল ১২০ হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধানঃ

মনে করি, সংখ্যা দুটি 5x এবং 7x

প্রশ্নমতে, 5x + 7x = 120

বা, 12x = 120

অতএব, x = 10

প্রথম সংখ্যাটি = 5 × 10 = 50

দ্বিতীয় সংখ্যাটি = 7 × 10 = 70


  • প্রশ্নঃ পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭:৩ । ৪ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ১৩:৫।বর্তমানে কার বয়স কত ? 
সমাধানঃ
ধরি, পিতার বর্তমান বয়স হলো 7x এবং পুত্রের বর্তমান বয়স হলো 3x।

চার বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল 13:5
প্রশ্নমতে,
(7x - 4) / (3x - 4) = 13 / 5
⇒ (7x−4)×5=13×(3x−4)
⇒ 35x−20=39x−52
⇒ 35x−39x=−52+20
⇒ 4x = 32
⇒  x = 8

সুতরাং, পিতার বর্তমান বয়স হলো 7x = 7*8 = 56 বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স হলো 3x = 3*8 = 24 বছর।

  • প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮। উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি ?

সমাধানঃ

মনে করি, 

সংখ্যা দুটি 5x এবং 8x

প্রশ্নমতে, উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি 2:3 হয়।

সমীকরণটি হবে (5x + 2)/(8x + 2) = 2/3 

এখন আড়াআড়ি গুণ করে পাই:

3(5x + 2) = 2(8x + 2)

বা, 15x + 6 = 16x + 4

বা, 15x - 16x = 4 - 6

বা, -x = -2

অতএব, x = 2

এখন x-এর মান বসিয়ে সংখ্যা দুটি পাই:

প্রথম সংখ্যা = 5 X 2 = 10

দ্বিতীয় সংখ্যা = 8 X 2 = 16


  • প্রশ্নঃ দুইটি রাশির অনুপাত ৭:১২ । উত্তর রাশি ৯৬ হলে, পূর্ব রাশি কত ?


  • প্রশ্নঃ একটি মাছ ২৫% লাভে বিক্রি করা হলে উহার ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করুন

সমাধানঃ

মনে করি, মাছটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।

২৫% লাভে মাছটির বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা + ২৫ টাকা = ১২৫ টাকা।

সুতরাং, ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = ১০০ : ১২৫।

অনুপাতটিকে ২৫ দিয়ে ভাগ করে ছোট করলে পাওয়া যায় = ৪ : ৫।


  • প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮ । ছোট সংখ্যাটি ৬৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত ?
সমাধানঃ

মনে করি ,বড় সংখ্যাটি =x
প্রশ্নমতে,৫ঃ৮ =৬৫ঃx
           বা,৫/৮ =৬৫/x
          বা, ৫x =৬৫× ৮
          বা, (৬৫× ৮)/৫
     অতএব, x =১০৪

  • প্রশ্নঃ একটি পাত্র দুধ ও পানির অনুপাত ৫ :২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ-
সমাধানঃ
ধরি, দুধের পরিমাণ = ৫x লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ২x লিটার।

প্রশ্নমতে, দুধের পরিমাণ পানি অপেক্ষা ৬ লিটার বেশি।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
৫x - ২x = ৬
বা, ৩x = ৬
বা, x = ৬ ÷ ৩
বা, x = ২

এখন, পানির পরিমাণ হলো ২x।
পানির পরিমাণ = ২ × ২ = ৪ লিটার।

  • প্রশ্নঃ এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ঃ৩ এবং তার মাসিক সঞ্চয় ১০০০০ টাকা হলে তিনি মাসিক কত টাকা ব্যয় করেন?
সমাধানঃ
ধরি আয় ৫x বছর
       ব্যয়  ৩x বছর
শর্তমতে  ৫x-৩x=১০০০০
              ২x=১০০০০
           ∴x=৫০০০
  ∴ আয়ের পরিমাণ ২৫০০০

  • প্রশ্নঃ ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ ক এর ১৭ ভাগ, খ এর ৩ ভাগ এবং গ এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে খ কতটুকু আছে ?
সমাধানঃ


  • প্রশ্নঃ একজন পুরুষ ও একজন মহিলা পুরস্কারের ১০০০ টাকা ১:৪ অনুপাতে ভাগ করে। মহিলা তাঁর অংশের টাকা নিজের , তাঁর মা ও তাঁর মেয়ের মধ্যে ২:১:১ অনুপাতে ভাগ করলে মেয়ে কত টাকা পাবে ? 

সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
মোট টাকার পরিমাণ = ১০০০ টাকা
ক ও খ-এর অর্থের অনুপাত = ১ : ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ৪ = ৫

∴ খ পায় = ১০০০ টাকার ৪/৫ অংশ
= (২০০ × ৪) টাকা
= ৮০০ টাকা

আবার,
খ তার প্রাপ্ত টাকা নিজে, তার মা ও মেয়ের মধ্যে ভাগ করে দেয়।
তাদের প্রাপ্ত অর্থের অনুপাত = ২ : ১ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ২ + ১ + ১ = ৪

সুতরাং, মেয়ে পাবে = খ-এর টাকার ১/৪ অংশ
= ৮০০ টাকার ১/৪ অংশ
= (২০০ × ১) টাকা
= ২০০ টাকা 

  • প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের গ. সা. গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু কত?
সমাধানঃ
মনে করি, দুইটি সংখ্যা যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক।
এদের ল. সা. গু ও গ. সা. গু যথাক্রমে ৩০ক ও ক।
প্রশ্নমতে, ক = ৪
∴ ৩০ক = ৩০ X ৪ =১২০ 
∴সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু = ১২০

  • প্রশ্নঃ মনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪:৩।তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫:৪।মনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?
সমাধানঃ
মনিরঃতপন = ৪ঃ৩
তপনঃরবিন= ৫ঃ৪ 
∴ মনিরঃতপনঃরবিন= ২০ঃ১৫ঃ১২

ধরি ,
মনির ,তপন ও রবিনের আয় যথাক্রমে ২০x , ১৫x ,১২x
প্রশ্নমতে  ২০x=১২০
              ∴ x= ৬
সুতরাং রবিনের আয় ১২x=১২ × ৬ =৭২ টাকা

  • প্রশ্নঃশামীমের আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২০:১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
সমাধানঃ
শামীমের আয় ২০ টাকা হলে সঞ্চয় = (২০-১৫) বা ৫ টাকা
∴"          "      ১     "      "        "       = ৫/২০  টাকা
∴"          "      ১০০    "      "        "   = ৫× ১০০/২০  টাকা
                                                  = ২৫ %